ในการทำโจทย์ข้อนี้ เราต้องพยายามแปลความหมายเงื่อนไข

1. จำนวนในลำดับทุกจำนวนหารด้วย $1001$ ลงตัว
2. จำนวนในลำดับเป็นตัวประกอบของ $1001^K$
3. ผลคูณของทุกจำนวนในลำดับมีค่าเท่ากับ $1001^N$

ให้กลายเป็นเงื่อนไขที่ง่ายขึ้น

ก่อนอื่น เพื่อความสะดวก สมมุติให้โจทย์บังคับว่าเราต้องสร้างลำดับความยาว $L$ ตัวเท่านั้น

สังเกตว่า $1001 = 7 \times 11 \times 13$

สมาชิกแต่ละตัวในลำดับ IOOI จะต้องเขียนในรูป $7^{a_i} 11^{b_i} 13^{c_i}$ โดยที่ $1 \leq a_i, b_i, c_i \leq K$ เท่านั้น จึงจะเป็นหารด้วย $1001$ ลงตัวตามเงื่อนไขที่ 1 และเป็นตัวประกอบของ $1001^K$ (หาร $1001^K$ ลงตัว) ตามเงื่อนไขที่ 2

ผลรวมเลขชี้กำลังของ $7$ ของสมาชิกแต่ละตัวต้องรวมกันได้ $N$ พอดี ($a_1+a_2+a_3+\dots+a_L = N$) เช่นเดียวกับผลรวมเลขชี้กำลังของ $11$ ($b_1+b_2+b_3+\dots+b_L = N$) และผลรวมเลขชี้กำลังของ $13$ ($c_1+c_2+c_3+\dots+c_L = N$) เมื่อเป็นเช่นนี้แล้ว ผลคูณของสมาชิกในลำดับจะเป็น $7^{a_1+a_2+\dots+a_L} 11^{b_1+b_2+\dots+b_L} 13^{c_1+c_2+\dots+c_L} = 7^N 11^N 13^N = 1001^N$ ตามเงื่อนไขที่ 3

ดังนั้น โจทย์ข้อนี้คือการนับว่าเราสามารถสร้างลำดับ $(a_i)$, $(b_i)$, $(c_i)$ ความยาว $L$ ขึ้นมาได้ทั้งหมดกี่แบบ โดยจะต้องตรงตามเงื่อนไข

• $1 \leq a_i, b_i, c_i \leq K$
• $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_L = N$
• $b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_L = N$
• $c_1 + c_2 + c_3 + \dots + c_L = N$

สังเกตว่าทั้งสามลำดับมีเงื่อนไขเหมือนกันและเราสามารถสร้างสามลำดับนี้ได้โดยอิสระต่อกัน ดังนั้น เราจะพิจารณาคำนวณแค่จำนวนวิธีการสร้างลำดับ $(a_i)$ เท่านั้น แล้วนำคำตอบไปยกกำลังสาม

นิยามให้ $dp_{i,j}$ หมายถึงวิธีสร้างลำดับความยาว $i$ ที่สมาชิกแต่ละตัวเป็นจำนวนเต็มระหว่าง $1$ ถึง $K$ และรวมกันเท่ากับ $N$ พอดี

Base case ได้แก่

• $dp_{0,0} = 1$
• $dp_{0,j} = 0$ สำหรับ $j \neq 0$
• $dp_{i,j} = 0$ สำหรับ $j \leq 0$

เราสามารถเขียน recurrence formula สำหรับกรณี $i > 0$ และ $j > 0$ ได้ว่า

$dp_{i,j} = \sum\limits_{v=1}^{v=K} dp_{i-1,j-v}$

(หากกำหนดให้ $a_i = v$ เราจะสามารถสร้างลำดับ $a_{1..(i-1)}$ ได้ $dp_{i-1,j-v}$ วิธี เนื่องจากเราสามารถเลือก $v$ อะไรก็ได้ จำนวนวิธีทั้งหมดคือผลรวมจำนวนวิธีกรณี $v=1,2,3,\dots,K$)

เพื่อความรวดเร็วในการคำนวณ เราสามารถกำหนด prefix sum $qs_{i,j} = dp_{i,1}+dp_{i,2}+\dots+dp_{i,j}$ ขึ้นมา ทำให้พจน์ $\sum\limits_{v=1}^{v=K} dp_{i-1,j-v}$ สามารถคำนวณได้จาก $qs_{i-1,j-1} - qs_{i-1,\max\{0,j-K-1\}}$

ดังนั้น เราสามารถสร้างลำดับ $(a_i)$, $(b_i)$, $(c_i)$ ความยาว $L$ ขึ้นมาได้ทั้งหมด $\left(dp_{L,N}\right)^3$ วิธี

เนื่องจากโจทย์อนุญาตให้เราสร้างลำดับความยาว $L$ เท่ากับเท่าใดก็ได้ (ซึ่งไม่เกิน $N$) ดังนั้น คำตอบสุดท้ายคือ

$\sum\limits_{L=1}^{L=N} \left(dp_{L,N}\right)^3$

ทั้งนี้อย่าลืมคำนวณเลขทั้งหมดใน modulo $2553$ และระวังไม่ให้เกิดจำนวนติดลบขึ้น