สิ่งที่สำคัญอย่างมากในข้อนี้คือ เกรดเดอร์จะปรับเปลี่ยนคำตอบไปตามการซื้อของเรา (adaptive) โดยมีเป้าหมายให้โปรแกรมของเราใช้ $R$ มากที่สุด โดยที่ $R$ คืออัตราส่วนของเงินที่เราจ่ายไป (ขอเรียกว่า $T$) ต่อเงินที่เราจะจ่ายน้อยที่สุดเมื่อเราทราบ $N$ ล่วงหน้า (ขอเรียกว่า $T^*$) นั่นคือ

$R = {T}/{T^*}$

เป้าหมายของเราคือการหา strategy การจ่ายเงินที่ทำให้ค่า $R$ น้อยที่สุด

ก่อนอื่นเรามาวิเคราะห์ $T^*$ กันก่อน เมื่อเรารู้จำนวนวันที่เราจะอยู่บ้านนี้ ($N$) แล้ว เราจะสามารถแยกออกได้เป็น 2 กรณี

1. หาก $N < C$ เราควรจะเช่าบ้านวันต่อวัน ดังนั้น $T^* = N$

2. หาก $N \geq C$ เราควรจะซื้อบ้านตั้งแต่วันแรกเลย ดังนั้น $T^* = C$

พูดในอีกนัยหนึ่งคือ $T^* = min(C, N)$ ดังนั้น $T^*$ เป็นฟังก์ชั่นไม่ลดเมื่อเทียบกับ $N$

สมมติว่าเราเป็นเกรดเดอร์แล้วพยายามจะทำให้ $R$ มากที่สุดที่จะเป็นไปได้

สมมติว่าเราเรียกสายลับกลับมาหลังจากอยู่ได้อย่างน้อย $x$ วัน (ไม่ว่าซื้อหรือไม่ซื้อ) เราสามารถเลือก $N$ เป็นอะไรก็ได้โดยที่ $x \leq N \leq M$ แต่เนื่องจาก $T^*$ เป็นฟังก์ชั่นไม่ลดเมื่อเทียบกับ $N$ แล้ว และเราต้องการจะทำให้ค่า $R = T/T^*$ มากที่สุด ดังนั้นเราควรจะเลือก $N = x$

ในอีกสถานการณ์ ให้เราสมมติว่าสายลับได้เช่าบ้านมาแล้ว $k$ วัน โดยที่ยังไม่ซื้อ เราควรจะปล่อยให้สายลับอยู่ต่อหรือไม่ หรือควรเรียกกลับมาเลย?

ในการหาคำตอบให้เราแยกออกเป็นสองกรณี

1. $k \geq C$ ถ้าเราเรียกกลับเลยอัตราส่วนจะเท่ากับ $k/C$ แต่ถ้าหากเราให้อยู่ต่อ $T$​ จะเพิ่มขึ้นและ $T^*$ จะเท่ากับ $C$ เหมือนเดิม ดังนั้นเราควรให้อยู่ต่อ ในกรณีนี้ $R = T/T^* = T/C > k/C \geq C/C = 1$ ดังนั้น $R> 1$ ถ้าเราให้อยู่ต่อ

2. $k < C$ ในกรณีนี้ถ้าเราจะให้อยู่ต่อเราจะให้อยู่ต่อจนถึงแค่ $k = C$ เพราะที่เราได้สรุปไปแล้วในกรณีที่ 1 สังเกตว่าในกรณีนี้ถ้าเราเรียกกลับ $R = k/k = 1$ และถ้าเราให้อยู่ต่อ $R = (k+1)/(k+1) = 1$ เช่นกัน แต่ถ้าหากเราให้อยู่ต่ออาจจะมีโอกาสที่เราจะได้ $R> 1$ จากกรณีที่ 1

ดังนั้นเราควรให้สายลับของเราอยู่ต่อ

จากข้อสังเกตข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่าเกรดเดอร์จะให้สายลับเราอยู่ต่อไปเรื่อย ๆ ตราบใดที่เรายังไม่ได้ซื้อบ้าน

คราวนี้ให้เราสมมติว่าเราเป็นสายลับแล้วพยายามจะทำให้ $R$ น้อยที่สุดที่เป็นไปได้

สังเกตว่ารูปแบบการจ่ายเงินของเราจะเป็นไปไปได้ 2 แบบหลัก ๆ นั่นคือ

1. จ่ายเงินค่าเช่าบ้านเป็นเวลา $k$ วัน ($0 \leq k < M$) จากนั้นจ่ายเงินซื้อบ้านในวันถัดมา วิธีนี้ใช้เงินทั้งหมด $k + C$ บาท และได้อยู่บ้าน $k+1$ วัน

   1.1 หาก $k+1 < C$ อัตราส่วน $R$ ที่เราจะได้คือ $\frac{k+C}{k+1} = 1 + \frac{C-1}{k+1}$ ดังนั้นเราควรจะเลือก $k+1 = C-1$ ที่ทำให้ $R = 2$

   1.2 หาก $k+1 \geq C$ อัตราส่วน $R$ จะเท่ากับ $\frac{k+C}{C} = 1 + \frac{k}{C}$ ดังนั้นเราควรจะเลือก $k = C-1$ ที่ทำให้ $R = 1 + \frac{C-1}{C}$

2. จ่ายเงินค่าเช่าบ้านทั้งหมด โดยเราจะต้องจ่ายจนจบการอยู่ของเราเลย ก็คือเราต้องจ่ายทั้งสิ้น $M$ บาท อัตราส่วนที่เราจะได้คือ $R = M/min(M, C)$ โดยถ้า $M \leq C$ อัตราส่วน $R$ จะเท่ากับ $1$ และถ้า $M > C$ อัตราส่วน $R$ จะเท่ากับ $M/C$

ดังนั้นเราสามารถสรุปวิธีการซื้อบ้านที่ดีที่สุดได้ดังนี้

1. ถ้า $M \leq C$ ให้เราเช่าบ้านจนจบ ไม่ต้องซื้อ จะได้ $R = 1$

2. ถ้า $C < M \leq 2C-1$ ให้เราเช่าบ้านจนจบ ไม่ต้องซื้อ จะได้ $R = M/C$

3. ถ้า $M > 2C-1$ ให้เราเช่าบ้าน $C-1$ วัน และซื้อบ้านในวันที่ $C$ จะได้ $R = 1+ \frac{C-1}{C}$